Dynamic Programming(동적계획법) - 기초

1. 계단 오르기 (피보나치)

철수는 계단을 오를 때 한 번에 한 계단 또는 두 계단씩 올라간다. 만약 총 4계단을 오른다면 그 방법의 수는

1+1+1+1, 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, 2+2 로 5가지이다.

그렇다면 총 N계단일 때 철수가 올라갈 수 있는 방법의 수는 몇 가지인가?

입력

첫째 줄은 계단의 개수인 자연수 N(3≤N≤35)이 주어집니다.

 

출력

첫 번째 줄에 올라가는 방법의 수를 출력합니다.

예시 입력 1 

7

예시 출력 1

21

[코드]

import java.util.*;

class Main {
    static int[] dy;
    public int solution(int n)
    {
        dy[1] = 1;
        dy[2] = 2;
        for(int i=3; i<=n; i++)
        {
            dy[i] = dy[i-2] + dy[i-1];
        }
        return dy[n];
    }
    public static void main(String[] args) {
        Main T = new Main();
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        dy = new int[n+1];
        System.out.println(T.solution(n));
    }
}

 

2. 돌다리 건너기

철수는 학교에 가는데 개울을 만났습니다. 개울은 N개의 돌로 다리를 만들어 놓았습니다.

철수는 돌 다리를 건널 때 한 번에 한 칸 또는 두 칸씩 건너뛰면서 돌다리를 건널 수 있습니다.

철수가 개울을 건너는 방법은 몇 가지일까요?

입력

첫째 줄은 돌의 개수인 자연수 N(3≤N≤35)이 주어집니다.

 

출력

첫 번째 줄에 개울을 건너는 방법의 수를 출력합니다.

예시 입력 1 

7

예시 출력 1

34

[코드]

import java.util.*;

class Main {
    static int[] dy;
    public int solution(int n)
    {
        dy[1] = 1;
        dy[2] = 2;
        for(int i=3; i<=n+1; i++)
        {
            dy[i] = dy[i-2] + dy[i-1];
        }
        return dy[n+1];
    }
    public static void main(String[] args) {
        Main T = new Main();
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        dy = new int[n+2];
        System.out.println(T.solution(n));
    }
}

 

3. 최대 부분 증가수열(LIS)

N개의 자연수로 이루어진 수열이 주어졌을 때, 그 중에서 가장 길게 증가하는(작은 수에서 큰 수로) 원소들의 집합을 찾는 프로그램을 작성하라.

예를 들어, 원소가 2, 7, 5, 8, 6, 4, 7, 12, 3 이면 가장 길게 증가하도록 원소들을 차례대로 뽑아내면 2, 5, 6, 7, 12를 뽑아내어 길이가 5인 최대 부분 증가수열을 만들 수 있다.

 

입력

첫째 줄은 입력되는 데이터의 수 N(3≤N≤1,000, 자연수)를 의미하고,

둘째 줄은 N개의 입력데이터들이 주어진다.

 

출력

첫 번째 줄에 부분증가수열의 최대 길이를 출력한다.

예시 입력 1 

8
5 3 7 8 6 2 9 4

예시 출력 1

4

<코드 - 주석 잘 읽어볼 것>

import java.util.*;

class Main {
    // dy 함수의 배열 값에 arr 배열 인덱스의 값을
    // 마지막 항으로 하는 최대 증가 수열의 길이를 저장한다.
    static int[] dy;
    public int solution(int[] arr)
    {
        int answer=0;
        dy = new int[arr.length];
        dy[0]=1;
        for(int i=1; i<arr.length; i++) {
            // 값이 없을 경우 아래에 max+1로 하여 1을 리턴받기 위해
            int max = 0;
            for(int j=i-1; j>=0; j--) {
                if (arr[j] < arr[i] && dy[j]>max)
                    max = dy[j];
            }
            dy[i] = max+1;
            // 최댓값이 answer에 저장된다.
            answer = Math.max(answer, dy[i]);
        }
        return answer;
    }
    public static void main(String[] args) {
        Main T = new Main();
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int[] arr = new int[n];

        for(int i=0; i<n; i++)
           arr[i] = sc.nextInt();

        System.out.println(T.solution(arr));
    }
}

 

4. 가장 높은 탑 쌓기 (출처 : 한국정보올림피아드)

밑면이 정사각형인 직육면체 벽돌들을 사용하여 탑을 쌓고자 한다.

탑은 벽돌을 한 개씩 아래에서 위로 쌓으면서 만들어 간다.

아래의 조건을 만족하면서 가장 높은 탑을 쌓을 수 있는 프로그램을 작성하시오.

 

(조건1) 벽돌은 회전시킬 수 없다. 즉, 옆면을 밑면으로 사용할 수 없다.

(조건2) 밑면의 넓이가 같은 벽돌은 없으며, 또한 무게가 같은 벽돌도 없다.

(조건3) 벽돌들의 높이는 같을 수도 있다.

(조건4) 탑을 쌓을 때 밑면이 좁은 벽돌 위에 밑면이 넓은 벽돌은 놓을 수 없다.

(조건5) 무게가 무거운 벽돌을 무게가 가벼운 벽돌 위에 놓을 수 없다.

 

입력

입력 파일의 첫째 줄에는 입력될 벽돌의 수가 주어진다. 입력으로 주어지는 벽돌의 수는 최대 100개이다.

둘째 줄부터는 각 줄에 한 개의 벽돌에 관한 정보인 벽돌 밑면의 넓이, 벽돌의 높이 그리고 무게가 차례대로 양의 정수로 주어진다.

각 벽돌은 입력되는 순서대로 1부터 연속적인 번호를 가진다. 벽돌의 넓이, 높이 무게는 10,000보다 작거나 같은 자연수이다.

 

출력

첫 번째 줄에 가장 높이 쌓을 수 있는 탑의 높이를 출력한다.

예시 입력 1 

5
25 3 4
4 4 6
9 2 3
16 2 5
1 5 2

예시 출력 1

10

[코드]

import java.util.*;
class Brick implements Comparable<Brick> {
    public int s, h, w;
    Brick(int s, int h, int w)
    {
        // 넓이 : s, 높이 : h, 무게 : w
        this.s = s;
        this.h = h;
        this.w = w;
    }
    @Override
    public int compareTo(Brick o) {
        return o.s - this.s; //내림차순 정렬
    }
}

class Main {
    static int[] dy; // 각 인덱스 배열 값이 최대 높이라고 생각했을 때 나올 수 있는
    				 // 벽돌의 수를 저장한다.
    public int solution(ArrayList<Brick> arr)
    {
        int answer=0;
        Collections.sort(arr); // 넓이에 의해서 내림차순 정렬
        dy[0] = arr.get(0).h; // 높이 값 저장
        answer = dy[0];
        for(int i=1; i<arr.size(); i++) {
            int max_h=0;
            for(int j=i-1; j>=0; j--) {
                if (arr.get(j).w > arr.get(i).w && dy[j] > max_h)
                {
                    max_h = dy[j];
                }
            }
            dy[i] = max_h + arr.get(i).h;
            answer = Math.max(answer, dy[i]);
        }

        return answer;
    }
    public static void main(String[] args) {
        Main T = new Main();
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        int n = sc.nextInt();
        ArrayList<Brick> arr =new ArrayList<>();
        dy = new int[n];

        for(int i=0; i<n; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            arr.add(new Brick(a,b,c));
        }
        System.out.println(T.solution(arr));
    }
}

 

5. 동전교환(냅색 알고리즘)

다음과 같이 여러 단위의 동전들이 주어져 있을때 거스름돈을 가장 적은 수의 동전으로 교환해주려면 어떻게 주면 되는가?

각 단위의 동전은 무한정 쓸 수 있다.

 

입력

첫 번째 줄에는 동전의 종류개수 N(1<=N<=50)이 주어진다.

두 번째 줄에는 N개의 동전의 종류가 주어지고, 그 다음줄에 거슬러 줄 금액 M(1<=M<=500)이 주어진다.

각 동전의 종류는 100원을 넘지 않는다.

 

출력

첫 번째 줄에 거슬러 줄 동전의 최소개수를 출력한다.

예시 입력 1 

3
1 2 5
15

예시 출력 1

3

힌트 : 5 5 5 동전 3개로 거슬러 줄 수 있다.

[코드]

dy[i] 의 값은 i라는 금액을 만드는데 필요한 최소 동전 개수를 말한다.

예 : dy[10]은 10원을 만드는데 필요한 최소 동전 개수를 의미한다.

coin[i] : 동전의 가격의 종류를 저장하는 배열.

import java.util.*;

class Main {
    static int n,m;
    static int[] dy;
    public int solution(int[] coin)
    {
        //dy를 Integer.MAX_VALUE로 모두 초기화
        Arrays.fill(dy, Integer.MAX_VALUE);
        dy[0] = 0;
        for(int i=0; i<n; i++) {
            for(int j=coin[i]; j<=m; j++) {
                dy[j] = Math.min(dy[j], dy[j-coin[i]]+1);
            }
        }
        return dy[m];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Main T = new Main();
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        int[] arr = new int[n];
        for(int i=0; i<n; i++)
            arr[i] = sc.nextInt();

        m = sc.nextInt();
        dy = new int[m+1]; ;// 1부터 n까지의 배열을 저장하기 위해

        System.out.println(T.solution(arr));
    }
}

 

6. 최대점수 구하기(냅색 알고리즘)

이번 정보올림피아드대회에서 좋은 성적을 내기 위하여 현수는 선생님이 주신 N개의 문제를 풀려고 합니다.

각 문제는 그것을 풀었을 때 얻는 점수와 푸는데 걸리는 시간이 주어지게 됩니다.

제한시간 M안에 N개의 문제 중 최대점수를 얻을 수 있도록 해야 합니다.

(해당문제는 해당시간이 걸리면 푸는 걸로 간주한다, 한 유형당 한개만 풀 수 있습니다.)

 

입력

첫 번째 줄에 문제의 개수N(1<=N<=50)과 제한 시간 M(10<=M<=300)이 주어집니다.

두 번째 줄부터 N줄에 걸쳐 문제를 풀었을 때의 점수와 푸는데 걸리는 시간이 주어집니다.

 

출력

첫 번째 줄에 제한 시간안에 얻을 수 있는 최대 점수를 출력합니다.

예시 입력 1 

5 20
10 5
25 12
15 8
6 3
7 4

예시 출력 1

41

[코드]

dy의 인덱스 값은 제한 시간 값을 의미한다.

dy[j]의 배열 값은 j분 동안 받을 수 있는 최대 점수를 의미한다.

예 : dy[16] : 16분 안에 얻을 수 있는 최대 점수를 말한다.

이 문제는 j가 맨 뒤에서부터 시작해야 중복을 피할 수 있다. 

import java.util.*;

class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        int[] dy = new int[m+1];

        for(int i=0; i<n; i++) {
            int ps = sc.nextInt();
            int pt = sc.nextInt();

            for(int j=m; j>=pt; j--) {
                //dy[j-pt]+ps 는 해당 문제를 풀었을 때를 의미한다.
                dy[j] = Math.max(dy[j], dy[j-pt]+ps);
            }
        }
        System.out.println(dy[m]);
    }
}